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• $Dom f^{-1} = \mathbb{R} > 0$ • $Im f^{-1}= \mathbb{R}$
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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Hallar la función inversa $f^{-1}$. Dar su dominio y su imagen.
a) $f(x)=e^{2 x+1}$
a) $f(x)=e^{2 x+1}$
Respuesta
Hallemos la función inversa:
Primero llamamos $y=f(x)$ y luego intercambiamos $x$ y $y$:
$y = e^{2x+1}$
$x = e^{2y+1}$
Ahora despejamos $y$:
$e^{2y+1} = x$
$2y + 1 = \ln(x)$ (aplicamos $ln$ a ambos lados)
$2y = \ln(x) - 1$
$y = \frac{\ln(x) - 1}{2}$
• $f^{-1}(x) = \frac{\ln(x) - 1}{2}$
Otra forma de escribir la función es: $\frac{1}{2} (\ln(x) - 1)$
Dominio e imagen de la función inversa:
El dominio de $f^{-1}$ es el conjunto de valores reales de $x$ para los cuales $\ln(x)$ está definido, es decir, todos los valores positivos de $x$ ($x > 0$).
La imagen de $f^{-1}$ corresponde al dominio de $f$, que es todo $\mathbb{R}$: $Im f^{^{-1}}= Dom f$ Por lo tanto,
• $Dom f^{-1} = \mathbb{R} > 0$ • $Im f^{-1}= \mathbb{R}$
Nunca te olvides que el dominio está conformado por valores de $x$ y la imagen por valores de $y$. Nada, te lo recuerdo nomás.